Hook-Length Formula

定义 Definition

钩长公式：组合数学中用于计算杨形图（Young diagram）对应的标准杨表（standard Young tableau）数量的公式。它把每个格子的“钩长（hook length）”相乘，从而给出总数： \[ f^\lambda=\frac{n!}{\prod_{c\in \lambda} h(c)} \] 其中 \(n\) 是格子总数，\(h(c)\) 是格子 \(c\) 的钩长（该格子右侧同一行的格子数 + 下方同一列的格子数 + 1）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈhʊk leŋθ ˈfɔːrmjʊlə/

例句 Examples

The hook-length formula tells us how many standard Young tableaux a given shape has.
钩长公式告诉我们某个给定形状的标准杨表有多少个。

Using the hook-length formula, we computed the dimension of the corresponding irreducible representation of the symmetric group.
利用钩长公式，我们计算了对称群相应不可约表示的维数。

词源 Etymology

“hook-length（钩长）”来自杨形图中每个格子所对应的“钩子”形状：从该格子向右延伸的一串格子与向下延伸的一串格子合在一起，形状像一个钩子；这些格子的总数（含自身）就是“钩长”。“formula”意为“公式”。该结果在表示论与对称函数理论中非常经典，常与杨表理论一起出现。

相关词 Related Words

• Hook
• Hook Length
• Young Diagram
• Young Tableau
• Standard Young Tableau
• Partition
• Symmetric Group
• Representation Theory
• Schur Function
• Ferrers Diagram

文学与经典著作中的用例 Literary Works

• William Fulton, Young Tableaux: With Applications to Representation Theory and Geometry（系统讲解杨表与钩长公式）
• Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume 2（在枚举组合与对称函数语境中使用钩长公式）
• Bruce E. Sagan, The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions（对称群表示与标准杨表计数中出现）